Metoda nominalnej krzywizny, podobnie jak metoda nominalnej sztywności, stosowana jest w celu analizy elementów żelbetowych znajdujących się w układach statycznie niewyznaczalnych wydzielonych z układu ze stałą siłą normalną oraz określoną długością efektywną. Przekrojowy moment zginający (MEd) elementu stanowi sumę momentu pierwszego rzędu (MEd,0) oraz dodatkowego momentu od efektów drugiego rzędu (MEd,II).
\[M_{Ed} = M_{Ed,0} + M_{Ed,II}
\]
Efektywna krzywizna
W przypadku elementów o stałym i symetrycznym przekroju poprzecznym, efektywna krzywizna wynosi:
\[\left (\frac{1}{r} \right )= \left ( \frac{1}{r} \right )_0 \cdot K_r \cdot K_{\varphi}
\]
gdzie:
- (1/r)0 – krzywizna 1 rzędu:
\left ( \frac{1}{r}\right)_0 =\frac {\varepsilon_{yd}} {0,45 d}
\]
w którym:
- εyd – odkształcenie plastyczne stali:
\varepsilon_{yd}=\frac{f_y}{E_s}
\]
- d – wysokość użyteczna przekroju:
d = h – (c+∅/2)
\]
- h – wysokość przekroju,
- c – otulenie zbrojenia,
- ∅ – średnica zbrojenia.
- Kr – współczynnik wpływu stopnia zbrojenia:
K_r=\frac{n_u-n}{n_u-n_{bal}}
\]
w którym:
\[n_u=1+\omega
\] \[
\omega= \frac {N_{Rs}} {N_{Rc}}= \frac {A_s \cdot f_{yd}} {A_c \cdot f_{cd}}
\]
- As – pole przekroju zbrojenia,
- Ac – pole przekroju poprzecznego betonu,
- nbal – wartość n, przy której występuje maksymalny moment graniczny. Przyjmuje się nbal = 0,4,
- K∅ – współczynnik uwzględniający pełzanie:
K_{\varphi} =\beta \cdot\varphi_{eff}
\]
gdzie:
\[\beta = 0,35+\frac{f_{ck}}{200}+\frac{\lambda}{150}
\]
- φeff – efektywny współczynnik pełzania,
- λ – smukłość,
- fck – charakterystyczna wytrzymałość walcowa na ściskanie betonu po 28 dniach.
Wyznaczenie całkowitego momentu zginającego
Całkowity moment zginający stanowi iloczyn siły osiowej mimośrodu całkowitego:
\[M_{Ed}=N_{Ed} \cdot e_{tot}
\]
gdzie:
- etot – mimośród całkowity:
e_{tot}= e_a+ e_{N,0}+e_{N,II}
\]
w którym:
- ea – mimośród niezamierzony powstały w wyniku przechylenia słupa oraz nieosiowego oddziaływania siły:
e_a= \max{ \left [ \frac{1}{200}\cdot L_{cr}/2; \quad \frac{h}{30}; \quad 20 \, mm \right] }
\]
- Lcr = lo – długość efektywna elementu,
- eN,0 – mimośród powstały w wyniku działania sił wewnętrznych w stanie I rzędu:
e_{N,0}=\frac{M_{Ed,0}}{N_{Ed}}
\]
- eN,II – mimośród dodatkowy powstały w wyniku przyrostu sił zewnętrznych na przemieszczeniach II rzędu:
e_{N,II}= \frac{\Delta M_{Ed,II}}{N_{Ed}}
\]
Mimośród II rzędu (eN,II) można również wyznaczyć korzystając z następującego wzoru:
\[e_{N,II} = \frac{L_{cr}^2}{c =π^2} \cdot \left (\frac{1}{r} \right )
\]
Literatura:
[1] PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3 :2008, Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków,
[2] Zeszyt Edukacyjny Buildera Projektowanie Konstrukcji Żelbetowych WG EC2.
Zobacz też:
Metoda nominalnej sztywności MNS
Efekty II rzędu przy ściskaniu
