Analizę stateczności przeprowadza się w celu wyznaczenia sił krytycznych oraz ścieżek równowagi układu jak i określeniu wpływu sił ściskających konstrukcję na pozostałe siły przekrojowe. Każda projektowana konstrukcja powinna znajdować się w równowadze statecznej, oznacza to powracanie konstrukcji do pierwotnego stanu po usunięciu przyczyn wychylenia ze stanu równowagi.
Dlaczego jej sprawdzenie jest tak ważne?
Analiza stateczności ma bardzo duże znaczenie dla zapewnienia bezpiecznej pracy konstrukcji, utrata stateczności prowadzi do zniszczenia konstrukcji, dzieje się tak podczas działania obciążenia krytycznego. Analiza stateczności oznacza inaczej analizę trwałość położenia równowagi. Można wyróżnić cztery położenia równowagi:
- stateczna (trwała) – układ wraca do pierwotnego położenia po usunięciu przyczyny wychylenia z położenia równowagi,
- niestateczna (nietrwała) – układ nie powraca do stanu pierwotnego i pozostaje w ruchu,
- krytyczna – układ jest wyprowadzony ze stanu równowagi, jego stan zależy od niewielkiego przemieszczenia,
- obojętna – układ w tym stanie przyjmuje nowe położenia równowagi.
Analizę stateczności możemy przeprowadzać w sposób ścisły lub przybliżony. W pierwszym przypadku równanie równowagi przedstawiamy w następującej postaci:
\[\underline{K} (σ) \underline{q}=\underline{K}^P
\]
gdzie:
- KP – wektor sił węzłowych,
- q – wektor przemieszczeń,
- K(σ) – macierz sztywności według teorii II rzędu,
- σ – parametr intensywności obciążenia równy:
σ^2 = \frac{S \cdot l^2}{E \cdot J}
\]
w którym:
- S – siła osiowa,
- l – długość elementu,
- EJ – sztywność na zginanie elementu.
W podejściu przybliżonym równanie równowagi ma postać:
\[(\underline{K} – S\underline{K_G})\underline{q} = \underline{K}^P
\]
gdzie:
- KG – macierz sztywności geometrycznej,
- K – macierz sztywności liniowej.
W celu wyznaczenia siły krytycznej należy rozwiązać równanie (2) lub (3) przy założeniu, że KP = 0. Sprowadza się to do rozwiązania następujących równań:
\[|\underline{K}(σ)| = 0
\]
lub:
\[|\underline{K} – S\underline{K_G}| = 0
\]
Literatura:
[1] Obara P., „Metoda przemieszczeń w analizie konstrukcji prętowych”, Biblioteka Główna Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce 2011.
Zobacz też:
Metoda nominalnej sztywności MNS
Efekty II rzędu przy ściskaniu
