Długość wyboczeniowa słupa żelbetowego wg. Eurokodu 2

Zarys opracowania problematyki stateczności słupów żelbetowych w kontekście wymagań normowych

W niniejszym artykule przedstawiono kompleksowe ujęcie zagadnienia długości wyboczeniowej słupów żelbetowych zgodnie z wymaganiami normy EN 1992-1-1 (Eurokod 2). Opracowanie obejmuje:

• definicję długości efektywnej oraz jej interpretację fizyczną,
• podstawy teoretyczne wyboczenia według Eulera,
• sposób wyznaczania długości wyboczeniowej w ramach żelbetowych,
• kryterium smukłości oraz warunki uwzględniania efektów II rzędu,
• metody obliczeniowe dopuszczone przez Eurokod 2,
• wpływ pełzania i zarysowania betonu,
• przykład liczbowy z doborem zbrojenia,

Teoretyczne podstawy wyboczenia prętów ściskanych jako punkt wyjścia do interpretacji długości wyboczeniowej

Wyboczenie stanowi utratę stateczności elementu smukłego poddanego osiowemu ściskaniu. Krytyczna siła wyboczeniowa dla pręta idealnie prostego, przegubowo podpartego, wynosi:$$N_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{l_0^2}$$

gdzie:

• $E$ – moduł sprężystości materiału,
• $I$ – moment bezwładności przekroju,
• $l_0$ – długość wyboczeniowa.

W konstrukcjach żelbetowych zagadnienie to komplikuje się z uwagi na:

• nieliniowość materiałową,
• zarysowanie przekroju,
• pełzanie betonu,
• wpływ zbrojenia podłużnego,
• rzeczywiste warunki podparcia.

Eurokod 2 przyjmuje podejście inżynierskie oparte na metodzie nominalnej krzywizny, nominalnej sztywności lub analizie II rzędu.

Definicja długości wyboczeniowej jako parametru zastępczego w analizie ram żelbetowych

Długość wyboczeniowa definiuje się jako:$$l_0 = k \cdot l$$

gdzie:

• $l$ – długość geometryczna słupa,
• $k$ – współczynnik długości wyboczeniowej zależny od warunków podparcia i sztywności węzłów.

W praktyce projektowej słup żelbetowy nie posiada idealnych przegubów ani pełnych utwierdzeń, dlatego współczynnik $k$k należy wyznaczać na podstawie analizy globalnej układu konstrukcyjnego.

Schematy statyczne a współczynnik długości wyboczeniowej w konstrukcjach żelbetowych

Zamiast klasycznych schematów stalowych, poniżej zestawiono tabelarycznie typowe przypadki dla słupów żelbetowych w budynkach.

Tabela 1. Orientacyjne wartości współczynnika długości wyboczeniowej k dla słupów żelbetowych

Smukłość słupa jako podstawowe kryterium obowiązku uwzględnienia efektów II rzędu

Smukłość definiuje się jako:$$\lambda = \frac{l_0}{i}$$

gdzie:$$i = \sqrt{\frac{I}{A}}$$

Dla przekroju prostokątnego:$$i = \frac{h}{\sqrt{12}}$$

Eurokod 2 wprowadza graniczną smukłość:$$\lambda_{lim} = \frac{20 \cdot \phi \cdot \sqrt{f_{ck}}}{\sqrt{\frac{N_{Ed}}{A_c f_{cd}}}}$$

Jeżeli:$$\lambda > \lambda_{lim}$$

należy uwzględnić efekty II rzędu.

Metody uwzględniania efektów drugiego rzędu według Eurokodu 2

Metoda nominalnej sztywności

$$(EI)_{eff} = K_c E_{cm} I_c + K_s E_s I_s$$

Uwzględnia redukcję sztywności wskutek zarysowania i pełzania.

Metoda nominalnej krzywizny

$$\kappa = \kappa_0 + \kappa_{II}$$κ=κ0​+κII​

Pozwala określić momenty drugiego rzędu bez pełnej analizy globalnej.

Analiza globalna II rzędu

Najbardziej dokładna metoda, uwzględniająca nieliniowość geometryczną całego ustroju.

Wpływ pełzania i zarysowania betonu na sztywność i efekty wyboczeniowe

Pełzanie redukuje efektywny moduł sprężystości:$$E_{eff} = \frac{E_{cm}}{1 + \varphi}$$

Skutki:

• wzrost długości efektywnej,
• zwiększenie momentów II rzędu,
• zmniejszenie nośności.

W budynkach wielokondygnacyjnych wpływ ten może być decydujący.

Przykład liczbowy z doborem zbrojenia słupa

Dane wejściowe

• Przekrój: $30 \times 30 \, cm$
• Wysokość kondygnacji: $l = 3.0 \, m$
• Przyjęto $k = 0.8$
• Beton C30/37
• Stal B500
• $N_{Ed} = 1350 \, kN$
• $M_{0,Ed} = 40 \, kNm$

Długość wyboczeniowa

$$l_0 = 0.8 \cdot 3.0 = 2.4 \, m$$

Parametry przekroju

$$A = 0.09 \, m^2$$$$i = 0.0866 \, m$$$$\lambda = 27.7$$

Ponieważ $\lambda > \lambda_{lim}$​, uwzględniono efekty II rzędu.

Moment od imperfekcji

$$e_i = \frac{2.4}{400} = 6 \, mm$$$$M_{II} = 8.1 \, kNm$$ $$M_{Ed} = 48.1 \, kNm$$

Dobór zbrojenia

Wymagana powierzchnia:$$A_s \approx 460 \, mm^2$$

Przyjęto:$$4 \varnothing 16$$$$A_s = 804 \, mm^2$$

Stopień zbrojenia:$$\rho = 0.89\%$$

Spełnia wymagania normowe:$$0.2\% < \rho < 4\%$$

Znaczenie imperfekcji geometrycznych

$$e_i = \frac{l_0}{400}$$ $$M_{II} = N_{Ed} \cdot e_i$$

Im większa długość wyboczeniowa, tym większe momenty dodatkowe i wymagane zbrojenie.