Rdzeń przekroju – obszar bez występowania naprężeń rozciągających

W analizie elementów ściskanych, takich jak słupy, filary, ściany nośne czy fundamenty, istotne znaczenie ma położenie siły względem przekroju poprzecznego. Jeżeli siła ściskająca działa mimośrodowo, w przekroju mogą pojawić się zarówno naprężenia ściskające, jak i rozciągające. W wielu materiałach konstrukcyjnych, zwłaszcza w betonie, murze czy kamieniu, występowanie naprężeń rozciągających jest niepożądane.

W celu oceny bezpiecznego położenia siły wprowadzono pojęcie rdzenia przekroju, które odgrywa ważną rolę w projektowaniu elementów ściskanych.

Definicja rdzenia przekroju

Rdzeniem przekroju nazywa się obszar znajdujący się wewnątrz przekroju poprzecznego, w którym musi znajdować się punkt przyłożenia siły ściskającej, aby w całym przekroju występowały wyłącznie naprężenia ściskające.

Jeżeli linia działania siły przechodzi przez rdzeń przekroju:$$\sigma \geq 0$$

w każdym punkcie przekroju.

Oznacza to brak naprężeń rozciągających.

Znaczenie fizyczne

Rdzeń przekroju wyznacza granicę bezpiecznego mimośrodowego ściskania.

Jeżeli siła działa:

• wewnątrz rdzenia – cały przekrój jest ściskany,
• na granicy rdzenia – w jednym punkcie naprężenie wynosi zero,
• poza rdzeniem – część przekroju jest rozciągana.

Powstawanie rdzenia przekroju

Dla elementu ściskanego siłą:$$N$$

przyłożoną mimośrodowo o wartość:$$e$$

powstaje moment zginający:$$M = N \cdot e$$

W rezultacie naprężenia w przekroju opisuje zależność:$$\sigma= \frac{N}{A} \pm \frac{My}{I}$$

gdzie:

• $A$ – pole przekroju,
• $I$ – moment bezwładności,
• $y$ – odległość od osi obojętnej.

Warunek braku rozciągania prowadzi do wyznaczenia granic rdzenia.

Rdzeń przekroju prostokątnego

Dla przekroju prostokątnego o szerokości $b$b i wysokości $h$h rdzeń ma również kształt prostokąta.

Jego wymiary wynoszą:$$\frac{b}{3}$$

oraz$$\frac{h}{3}$$

Środek rdzenia pokrywa się ze środkiem ciężkości przekroju.

Graniczne mimośrody wynoszą:$$e_x=\frac{b}{6}$$$$e_y=\frac{h}{6}$$

Rdzeń przekroju kwadratowego

Dla przekroju kwadratowego o boku $a$a:$$e=\frac{a}{6}$$

Rdzeń ma kształt kwadratu o boku:$$\frac{a}{3}$$

Rdzeń przekroju kołowego

Dla pełnego przekroju kołowego rdzeń ma postać koła współśrodkowego z przekrojem.

Promień rdzenia wynosi:$$r_k=\frac{R}{4}$$

gdzie:

• $R$ – promień przekroju.

Rdzeń przekroju pierścieniowego

W przekrojach rurowych i pierścieniowych kształt rdzenia zależy od stosunku średnicy zewnętrznej do wewnętrznej.

Wyznacza się go na podstawie geometrii przekroju oraz jego momentów bezwładności.

Graficzna interpretacja rdzenia

Rdzeń można interpretować jako obszar dopuszczalnego położenia siły ściskającej.

Jeżeli punkt przyłożenia siły znajduje się:

• blisko środka przekroju – naprężenia są równomierne,
• przy granicy rdzenia – część przekroju osiąga naprężenie zerowe,
• poza rdzeniem – pojawiają się naprężenia rozciągające.

Warunek rdzenia przekroju

Dla przekroju prostokątnego warunek pracy bez rozciągania można zapisać:$$e \leq \frac{h}{6}$$

lub$$e \leq \frac{b}{6}$$

w zależności od kierunku mimośrodu.

Warunek ten często określa się jako zasadę środkowej jednej trzeciej przekroju.

Rdzeń a oś obojętna

Przy położeniu siły na granicy rdzenia:

• oś obojętna przechodzi przez krawędź przekroju,
• minimalne naprężenie wynosi zero.

Po przekroczeniu granicy rdzenia część przekroju przechodzi w strefę rozciąganą.

Rdzeń przekroju w żelbecie

W elementach żelbetowych położenie siły względem rdzenia ma duże znaczenie przy:

• projektowaniu słupów,
• analizie fundamentów,
• ocenie ściskanych ścian konstrukcyjnych.

W praktyce żelbet może przenosić pewne naprężenia rozciągające dzięki zbrojeniu, jednak analiza rdzenia nadal stanowi ważne narzędzie projektowe.

Rdzeń przekroju w konstrukcjach murowych

W konstrukcjach murowych pojęcie rdzenia ma szczególne znaczenie.

Mur:

• bardzo dobrze przenosi ściskanie,
• słabo przenosi rozciąganie.

Dlatego dąży się do utrzymania linii działania siły wewnątrz rdzenia przekroju.

Rdzeń przekroju fundamentów

Podczas projektowania stóp fundamentowych sprawdza się, czy wypadkowa sił znajduje się w rdzeniu podstawy.

Warunek ten pozwala uniknąć:

• odrywania części fundamentu od podłoża,
• nierównomiernego nacisku,
• nadmiernych osiadań.

Wyznaczanie rdzenia

Rdzeń przekroju wyznacza się na podstawie:

• geometrii przekroju,
• położenia środka ciężkości,
• momentów bezwładności,
• warunku braku naprężeń rozciągających.

Dla przekrojów złożonych stosuje się metody analityczne lub numeryczne.

Zastosowanie w metodzie elementów skończonych

W nowoczesnych analizach MES pojęcie rdzenia przekroju jest często wykorzystywane do:

• oceny pracy fundamentów,
• analizy elementów ściskanych,
• interpretacji rozkładu naprężeń.

Pozwala szybko określić możliwość występowania stref rozciąganych.

Znaczenie inżynierskie

Rdzeń przekroju jest jednym z podstawowych pojęć wytrzymałości materiałów i mechaniki budowli. Umożliwia ocenę pracy elementów ściskanych oraz kontrolę występowania naprężeń rozciągających w materiałach, które nie są przystosowane do ich przenoszenia.

Podsumowanie

Rdzeń przekroju jest obszarem wewnątrz przekroju poprzecznego, w którym musi znajdować się punkt przyłożenia siły ściskającej, aby w całym przekroju występowały wyłącznie naprężenia ściskające. Pojęcie to ma szczególne znaczenie w projektowaniu słupów, ścian murowych, fundamentów oraz innych elementów pracujących na ściskanie mimośrodowe.