Równanie Cauchy’ego – podstawowa zależność teorii naprężeń

Równanie Cauchy’ego jest jednym z fundamentalnych równań mechaniki ośrodków ciągłych oraz wytrzymałości materiałów. Opisuje zależność pomiędzy naprężeniami działającymi na dowolnie zorientowaną płaszczyznę wewnątrz materiału a składowymi tensora naprężeń w danym punkcie.

Równanie to zostało opracowane przez francuskiego matematyka i fizyka Augustin-Louis Cauchy i stanowi podstawę współczesnej teorii naprężeń wykorzystywanej w budownictwie, mechanice oraz metodzie elementów skończonych.

Istota równania Cauchy’ego

W rzeczywistym materiale naprężenia mogą działać na nieskończenie wiele płaszczyzn przechodzących przez ten sam punkt.

Nie ma więc potrzeby wyznaczania naprężeń dla każdej płaszczyzny oddzielnie. Wystarczy znać stan naprężenia w punkcie, opisany za pomocą tensora naprężeń.

Równanie Cauchy’ego pozwala obliczyć wektor naprężenia działający na dowolną płaszczyznę o zadanym kierunku.

Definicja matematyczna

Równanie Cauchy’ego zapisuje się w postaci:$$\mathbf{t}^{(n)} = \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{n}$$

gdzie:

• $\mathbf{t}^{(n)}$ – wektor naprężenia na rozważanej płaszczyźnie,
• $\mathbf{\sigma}$ – tensor naprężeń,
• $\mathbf{n}$ – jednostkowy wektor normalny do płaszczyzny.

Zapis składowy

W notacji indeksowej równanie przyjmuje postać:$$t_i= \sigma_{ij}n_j$$

gdzie:

• $t_i$ – składowe wektora naprężenia,
• $\sigma_{ij}$ – składowe tensora naprężeń,
• $n_j$​ – cosinusy kierunkowe normalnej do płaszczyzny.

Tensor naprężeń

Stan naprężenia w punkcie opisuje tensor:$$\mathbf{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix}$$

gdzie:

• $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$​ – naprężenia normalne,
• $\tau$ – naprężenia styczne.

Interpretacja fizyczna

Równanie Cauchy’ego umożliwia wyznaczenie naprężeń działających na dowolnie nachyloną powierzchnię przechodzącą przez analizowany punkt materiału.

Oznacza to, że znając tensor naprężeń można określić:

• naprężenia normalne,
• naprężenia styczne,
• kierunki naprężeń głównych.

Element czworościenny Cauchy’ego

Wyprowadzenie równania opiera się na analizie równowagi bardzo małego elementu materiału w kształcie czworościanu.

Zakłada się:

• ciągłość materiału,
• równowagę sił,
• istnienie granicy przy zmniejszaniu wymiarów elementu do zera.

Na tej podstawie uzyskuje się zależność pomiędzy naprężeniami działającymi na różnych płaszczyznach.

Naprężenie na dowolnej płaszczyźnie

Po wyznaczeniu wektora:$$\mathbf{t}^{(n)}$$

można rozłożyć go na:

składową normalną

$$\sigma_n= \mathbf{t}^{(n)} \cdot \mathbf{n}$$

oraz

składową styczną

$$\tau= \sqrt{ \left| \mathbf{t}^{(n)} \right|^2 – \sigma_n^2 }$$

Dzięki temu możliwe jest określenie pełnego stanu naprężenia na analizowanej płaszczyźnie.

Naprężenia główne

Szczególnie ważnym zastosowaniem równania Cauchy’ego jest wyznaczanie naprężeń głównych.

W kierunkach głównych:$$\tau = 0$$

a naprężenia przyjmują wartości:$$\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$$​

zwane naprężeniami głównymi.

Związek z kołem Mohra

Równanie Cauchy’ego stanowi podstawę matematyczną konstrukcji:$$\text{koła Mohra}$$

umożliwiającego graficzną analizę stanu naprężeń.

Za pomocą koła Mohra można wyznaczyć:

• naprężenia główne,
• maksymalne naprężenia styczne,
• orientację płaszczyzn głównych.

Równanie Cauchy’ego w stanie płaskim

Dla płaskiego stanu naprężenia tensor przyjmuje uproszczoną postać:$$\mathbf{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy}\\ \tau_{xy} & \sigma_y \end{bmatrix}$$

Równanie Cauchy’ego pozwala wówczas określać naprężenia dla dowolnego kąta nachylenia przekroju.

Znaczenie w wytrzymałości materiałów

Równanie Cauchy’ego wykorzystuje się przy analizie:

• belek,
• słupów,
• wałów,
• połączeń spawanych,
• elementów maszyn.

Pozwala ono określać rzeczywisty rozkład naprężeń w materiale.

Zastosowanie w metodzie elementów skończonych

W analizach MES równanie Cauchy’ego wykorzystywane jest do:

• wyznaczania tensorów naprężeń,
• transformacji naprężeń,
• obliczania naprężeń głównych,
• oceny warunków zniszczenia materiału.

Stanowi ono jeden z fundamentów współczesnych obliczeń numerycznych.

Znaczenie w mechanice ośrodków ciągłych

Mechanika ośrodków ciągłych opiera się na założeniu, że materiał jest ciągły i może być opisany za pomocą pól naprężeń oraz odkształceń.

Równanie Cauchy’ego jest podstawowym narzędziem pozwalającym przejść od lokalnego opisu tensora naprężeń do naprężeń działających na rzeczywiste powierzchnie wewnątrz materiału.

Ograniczenia

Klasyczna postać równania Cauchy’ego zakłada:

• ciągłość materiału,
• brak efektów mikroskopowych,
• klasyczny model ośrodka ciągłego.

W materiałach o złożonej mikrostrukturze mogą być stosowane bardziej zaawansowane modele mechaniczne.

Znaczenie inżynierskie

Równanie Cauchy’ego jest jednym z najważniejszych równań teorii naprężeń. Umożliwia analizę stanu naprężenia w dowolnym punkcie materiału i stanowi podstawę projektowania konstrukcji oraz nowoczesnych metod obliczeniowych stosowanych w inżynierii.

Podsumowanie

Równanie Cauchy’ego opisuje zależność pomiędzy tensorem naprężeń a wektorem naprężenia działającym na dowolnie zorientowaną płaszczyznę przechodzącą przez analizowany punkt materiału. Jest ono podstawą mechaniki ośrodków ciągłych, teorii naprężeń, koła Mohra oraz metody elementów skończonych. Dzięki temu należy do najważniejszych narzędzi wykorzystywanych we współczesnej wytrzymałości materiałów i mechanice konstrukcji.