Równanie Cauchy’ego – podstawowa zależność teorii naprężeń

Równanie Cauchy’ego jest jednym z najważniejszych równań mechaniki ośrodków ciągłych oraz wytrzymałości materiałów. Opisuje zależność pomiędzy stanem naprężenia w punkcie materiału a naprężeniami działającymi na dowolnie zorientowaną płaszczyznę przechodzącą przez ten punkt.

Zależność ta została opracowana przez Augustin-Louis Cauchy i stanowi podstawę współczesnej analizy naprężeń stosowanej w mechanice, budownictwie, budowie maszyn oraz metodzie elementów skończonych.

Definicja równania Cauchy’ego

Równanie Cauchy’ego określa wektor naprężenia działający na dowolną płaszczyznę wewnątrz materiału jako iloczyn tensora naprężeń oraz wektora normalnego do tej płaszczyzny.

W postaci wektorowej zapisuje się je następująco: $\mathbf{t}^{(n)}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}$

gdzie:

$\mathbf{t}^{(n)}$ – wektor naprężenia działający na rozpatrywaną płaszczyznę,
$\boldsymbol{\sigma}$ – tensor naprężeń,
$\mathbf{n}$ – jednostkowy wektor normalny do płaszczyzny.

Zapis składowy

W zapisie indeksowym równanie przyjmuje postać: $t_i=\sigma_{ij}n_j$

gdzie:

$t_i$ – składowe wektora naprężenia,
$\sigma_{ij}$ – składowe tensora naprężeń,
$n_j$ – składowe wektora normalnego.

Notacja ta jest powszechnie stosowana w mechanice ośrodków ciągłych.

Tensor naprężeń

Stan naprężenia w dowolnym punkcie materiału opisuje tensor naprężeń: $\boldsymbol{\sigma}= \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix}$

gdzie:

$\sigma_x$ , $\sigma_y$ , $\sigma_z$ – naprężenia normalne,
$\tau_{xy}$ , $\tau_{yz}$ , $\tau_{zx}$ – naprężenia styczne.

Dla materiałów spełniających warunki równowagi tensor naprężeń jest symetryczny, co oznacza: $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ $\tau_{yz}=\tau_{zy}$ $\tau_{zx}=\tau_{xz}$

Istota równania

W jednym punkcie materiału można wyobrazić sobie nieskończenie wiele płaszczyzn o różnych orientacjach. Na każdej z nich działają inne naprężenia.

Równanie Cauchy’ego umożliwia wyznaczenie tych naprężeń bez konieczności analizowania każdej płaszczyzny oddzielnie. Wystarczy znać tensor naprężeń oraz kierunek normalnej do rozpatrywanej powierzchni.

Wyprowadzenie równania

Równanie Cauchy’ego wyprowadza się na podstawie analizy równowagi nieskończenie małego elementu materiału w kształcie czworościanu.

Podczas wyprowadzenia przyjmuje się następujące założenia:

materiał jest ośrodkiem ciągłym,
obowiązują równania równowagi,
naprężenia zmieniają się w sposób ciągły.

Analiza sił działających na ściany elementu prowadzi do otrzymania równania opisującego naprężenia na dowolnej płaszczyźnie.

Naprężenia normalne i styczne

Po wyznaczeniu wektora naprężenia można obliczyć jego składowe.

Naprężenie normalne wynosi: $\sigma_n=\mathbf{t}^{(n)}\cdot\mathbf{n}$

Natomiast wartość naprężenia stycznego można wyznaczyć z zależności: $\tau=\sqrt{\left|\mathbf{t}^{(n)}\right|^2-\sigma_n^2}$

Dzięki temu możliwe jest określenie pełnego stanu naprężenia na analizowanej powierzchni.

Naprężenia główne

Jednym z najważniejszych zastosowań równania Cauchy’ego jest wyznaczanie naprężeń głównych.

Na płaszczyznach głównych naprężenia styczne zanikają: $\tau=0$

Natomiast pozostają wyłącznie naprężenia normalne: $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$

zwane naprężeniami głównymi.

Związek z kołem Mohra

Równanie Cauchy’ego stanowi matematyczną podstawę transformacji naprężeń wykorzystywanej przy konstrukcji koła Mohra.

Koło Mohra umożliwia:

wyznaczanie naprężeń głównych,
określenie maksymalnych naprężeń stycznych,
analizę naprężeń na płaszczyznach nachylonych pod dowolnym kątem.

Zastosowanie w wytrzymałości materiałów

Równanie Cauchy’ego znajduje zastosowanie podczas analizy:

belek,
słupów,
wałów,
płyt,
tarcz,
połączeń spawanych.

Pozwala określić rozkład naprężeń w dowolnym punkcie konstrukcji.

Zastosowanie w metodzie elementów skończonych

W metodzie elementów skończonych (MES) równanie Cauchy’ego jest wykorzystywane do:

obliczania tensorów naprężeń,
transformacji naprężeń,
wyznaczania naprężeń głównych,
oceny warunków zniszczenia materiału.

Stanowi ono jedno z podstawowych równań wykorzystywanych w analizach numerycznych.

Znaczenie w mechanice ośrodków ciągłych

Mechanika ośrodków ciągłych opisuje materiały jako ośrodki ciągłe, pomijając ich budowę atomową.

Równanie Cauchy’ego umożliwia powiązanie lokalnego stanu naprężenia z siłami działającymi na dowolne powierzchnie wewnątrz materiału, dzięki czemu jest jednym z fundamentów tej dziedziny nauki.

Ograniczenia

Klasyczna postać równania Cauchy’ego opiera się na założeniach:

ciągłości materiału,
braku momentów własnych działających na element,
klasycznej teorii sprężystości.

W analizie materiałów o złożonej mikrostrukturze mogą być stosowane bardziej zaawansowane modele mechaniczne.

Znaczenie inżynierskie

Równanie Cauchy’ego należy do podstawowych narzędzi stosowanych w analizie stanu naprężenia. Umożliwia wyznaczanie naprężeń działających na dowolnych płaszczyznach oraz stanowi fundament współczesnych metod projektowania konstrukcji i analiz komputerowych.

Podsumowanie

Równanie Cauchy’ego opisuje zależność pomiędzy tensorem naprężeń a wektorem naprężenia działającym na dowolnie zorientowaną płaszczyznę przechodzącą przez analizowany punkt materiału. Jest ono jednym z najważniejszych równań mechaniki ośrodków ciągłych oraz wytrzymałości materiałów i znajduje zastosowanie w analizie naprężeń, projektowaniu konstrukcji oraz metodzie elementów skończonych.