Płaski stan naprężenia – dwuwymiarowy model stanu naprężenia w elementach konstrukcyjnych

W rzeczywistych elementach konstrukcyjnych naprężenia występują w trzech wzajemnie prostopadłych kierunkach, tworząc przestrzenny stan naprężenia. W wielu zagadnieniach inżynierskich jeden z wymiarów elementu jest jednak znacznie mniejszy od pozostałych, a naprężenia działające w tym kierunku są pomijalnie małe.

W takich przypadkach stosuje się uproszczony model nazywany płaskim stanem naprężenia. Jest on powszechnie wykorzystywany w wytrzymałości materiałów, mechanice konstrukcji oraz metodzie elementów skończonych.

Definicja płaskiego stanu naprężenia

Płaski stan naprężenia występuje wtedy, gdy naprężenia działają wyłącznie w jednej płaszczyźnie, a naprężenia prostopadłe do tej płaszczyzny można pominąć.

Dla płaskiego stanu naprężenia przyjmuje się:$$\sigma_z = 0$$$$\tau_{xz} = 0$$$$\tau_{yz} = 0$$

Pozostają jedynie:$$\sigma_x$$$$\sigma_y$$ $$\tau_{xy}$$

Warunki występowania

Płaski stan naprężenia pojawia się najczęściej w cienkich elementach konstrukcyjnych obciążonych w swojej płaszczyźnie.

Typowe przykłady obejmują:

• cienkie blachy,
• tarcze,
• ścianki zbiorników,
• elementy lotnicze,
• cienkościenne konstrukcje stalowe.

Element płaskiego stanu naprężenia

Rozpatrując nieskończenie mały element materiału, można wyróżnić trzy składowe naprężeń:

Naprężenia normalne

$$\sigma_x$$$$\sigma_y$$

działające prostopadle do powierzchni elementu.

Naprężenie styczne

$$\tau_{xy}$$

działające równolegle do powierzchni.

Tensor naprężeń

Tensor naprężeń dla płaskiego stanu naprężenia przyjmuje postać:$$\mathbf{\sigma}= \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & 0 \\ \tau_{xy} & \sigma_y & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Jest to uproszczona postać pełnego tensora przestrzennego.

Naprężenia na płaszczyźnie nachylonej

W dowolnie obróconym układzie współrzędnych wartości naprężeń ulegają zmianie.

Naprężenie normalne:$$\sigma_n= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta$$

Naprężenie styczne:$$\tau_n= -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta$$

gdzie:

• $\theta$– kąt obrotu układu osi.

Naprężenia główne

W każdym punkcie materiału istnieją kierunki, dla których naprężenia styczne są równe zeru.

W tych kierunkach występują naprężenia główne:$$\sigma_1$$​ $$\sigma_2$$

Ich wartości wynoszą:$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 }$$

Kierunki główne

Kąt położenia płaszczyzn głównych określa zależność:$$\tan 2\theta = \frac{2\tau_{xy}} {\sigma_x-\sigma_y}$$​​

Na tych płaszczyznach:$$\tau = 0$$

Maksymalne naprężenie styczne

Największa wartość naprężenia stycznego wynosi:$$\tau_{max} = \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 }$$

lub$$\tau_{max} = \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}$$

Koło Mohra dla płaskiego stanu naprężenia

Graficzną metodą analizy płaskiego stanu naprężenia jest Koło Mohra.

Pozwala ono wyznaczyć:

• naprężenia główne,
• maksymalne naprężenia styczne,
• kierunki główne,
• transformację naprężeń.

Szczególne przypadki płaskiego stanu naprężenia

Jednoosiowe rozciąganie

$$\sigma_x \neq 0$$ $$\sigma_y = 0$$$$\tau_{xy}=0$$

Przykład: pręt rozciągany osiowo.

Dwuosiowe rozciąganie

$$\sigma_x \neq 0$$$$\sigma_y \neq 0$$$$\tau_{xy}=0$$

Przykład: cienka blacha rozciągana w dwóch kierunkach.

Czyste ścinanie

$$\sigma_x = \sigma_y = 0$$$$\tau_{xy} \neq 0$$

Przykład: cienkościenne elementy skręcane.

Płaski stan naprężenia a płaski stan odkształcenia

Pojęcia te często są mylone, jednak opisują różne sytuacje.

Zastosowanie w wytrzymałości materiałów

Model płaskiego stanu naprężenia wykorzystywany jest przy analizie:

• blach konstrukcyjnych,
• połączeń spawanych,
• zbiorników cienkościennych,
• poszyć lotniczych,
• elementów maszyn.

Płaski stan naprężenia w metodzie elementów skończonych

W analizach MES model ten pozwala znacznie ograniczyć liczbę stopni swobody i skrócić czas obliczeń.

Elementy typu Plane Stress stosuje się do modelowania:

• blach,
• cienkich ścian,
• membran,
• cienkościennych konstrukcji.

Znaczenie inżynierskie

Płaski stan naprężenia stanowi jedno z najczęściej wykorzystywanych uproszczeń w analizie konstrukcji. Umożliwia dokładne odwzorowanie zachowania wielu rzeczywistych elementów przy jednoczesnym znacznym uproszczeniu obliczeń.

Jest podstawą projektowania cienkościennych konstrukcji oraz licznych analiz wytrzymałościowych wykonywanych zarówno metodami analitycznymi, jak i numerycznymi.

Podsumowanie

Płaski stan naprężenia jest szczególnym przypadkiem stanu naprężenia, w którym wszystkie istotne naprężenia działają w jednej płaszczyźnie, natomiast naprężenia prostopadłe do niej są pomijalnie małe. Model ten znajduje szerokie zastosowanie w mechanice konstrukcji, wytrzymałości materiałów i metodzie elementów skończonych.

Dzięki swojej prostocie i dużej zgodności z rzeczywistym zachowaniem cienkościennych elementów stanowi jedno z najważniejszych narzędzi współczesnej analizy inżynierskiej.