Spis treści

1. Definicja i założenia modelu belki swobodnie podpartej
2. Typowe schematy obciążeń i reakcje podporowe
3. Wykresy sił tnących i momentów zginających
4. Ugięcia i warunki użytkowalności (SLS)
5. Przykład obliczeń: reakcje, wykresy, moment maksymalny i ugięcie
6. Wnioski praktyczne

1) Definicja i założenia

Belka swobodnie podparta (ang. simply supported beam) to element prętowy podparty:

• z jednej strony przegubowo (blokuje przesunięcia, dopuszcza obrót),
• z drugiej strony przesuwnie/rolkowo (blokuje przesunięcie pionowe, dopuszcza przesunięcie poziome i obrót).

W klasycznej analizie liniowo-sprężystej przyjmuje się zwykle:

• małe przemieszczenia i obroty,
• materiał sprężysty liniowy (prawo Hooke’a),
• belka smukła → teoria Eulera–Bernoulliego (przekroje pozostają płaskie) [1].

2) Typowe obciążenia

Najczęściej spotykane schematy:

• siła skupiona $P$ [kN],
• obciążenie równomiernie rozłożone $q$ [kN/m],
• moment skupiony $M_0$​ [kNm],
• kombinacje powyższych.

Dla belki statycznie wyznaczalnej reakcje wyznacza się z równań równowagi:$$\sum F_y = 0,\qquad \sum M = 0$$(w 2D zazwyczaj wystarcza).

3) Siła tnąca i moment zginający

Kluczowe wielkości przekrojowe:

• siła tnąca $V(x)$,
• moment zginający $M(x)$.

Zależności ogólne (konwencja znaków wg przyjętego standardu):$$\frac{dV}{dx} = -q(x),\qquad \frac{dM}{dx} = V(x)$$co pozwala budować wykresy $V$ i $M$ na podstawie obciążeń [1].

4) Ugięcia (SLS)

W teorii Eulera–Bernoulliego:$$EI\,\frac{d^2 w}{dx^2} = M(x)$$gdzie:

• $w(x)$ – ugięcie [m],
• $E$ – moduł Younga [Pa],
• $I$ – moment bezwładności przekroju [m$^4$].

W praktyce projektowej często sprawdza się ugięcie maksymalne $w_{\max}$ względem limitów użytkowalności (np. $L/250$, $L/300$ – zależnie od przeznaczenia i normy).

5) Przykład obliczeń (pełny, krok po kroku)

Dane

Rozważmy belkę swobodnie podpartą o rozpiętości:

• $L = 6.0\ \text{m}$

Obciążenie:

• równomiernie rozłożone na całej długości: $q = 10\ \text{kN/m}$

Materiał i przekrój (dla ugięcia):

• stal: $E = 210\ \text{GPa} = 210\cdot 10^9\ \text{Pa}$
• $I = 8.0\cdot 10^{-6}\ \text{m}^4$

Krok 1: Reakcje podporowe $R_A$​ i $R_B$​

Suma sił pionowych:$$R_A + R_B – qL = 0 \Rightarrow R_A + R_B = qL$$$$qL = 10\cdot 6 = 60\ \text{kN}$$Moment względem podpory A:$$\sum M_A = 0:\quad R_B L – qL\cdot \frac{L}{2} = 0$$$$R_B = q\frac{L}{2} = 10\cdot \frac{6}{2} = 30\ \text{kN}$$$$R_A = 60 – 30 = 30\ \text{kN}$$

Wynik:

• $R_A = 30\ \text{kN}$
• $R_B = 30\ \text{kN}$

Krok 2: Siła tnąca $V(x)$:

Dla $0 \le x \le L$$$V(x) = R_A – qx = 30 – 10x\quad [\text{kN}]$$Sprawdzenie krańców:

• $V(0)=30\ \text{kN}$
• $V(6)=30-60=-30\ \text{kN}$ (przed reakcją $R_B$​ wykres schodzi do $-30$)

Krok 3: Moment zginający $M(x)$:

$$M(x) = \int V(x)\,dx = R_A x – \frac{q x^2}{2}$$$$M(x)=30x-\frac{10x^2}{2}=30x-5x^2\quad [\text{kNm}]$$

Moment maksymalny

Maksimum, gdy $V(x)=0$:$$30-10x=0 \Rightarrow x=3\ \text{m}$$$$M_{\max}=M(3)=30\cdot 3-5\cdot 3^2=90-45=45\ \text{kNm}$$

Wynik:

• $M_{\max}=45\ \text{kNm}$ w środku rozpiętości.

Krok 4: Ugięcie maksymalne $w_{\max}$​

Dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej długości:$$w_{\max}=\frac{5 q L^4}{384 E I}$$Uwaga na jednostki:
$q=10\ \text{kN/m}=10\,000\ \text{N/m}$

Obliczenia:

• $L^4 = 6^4 = 1296\ \text{m}^4$
• licznik:

$$5 q L^4 = 5\cdot 10\,000\cdot 1296 = 64\,800\,000$$

• mianownik:

$$384EI = 384\cdot 210\cdot 10^9 \cdot 8\cdot 10^{-6}$$

Najpierw $EI$:$$EI = 210\cdot 10^9 \cdot 8\cdot 10^{-6} = 1.68\cdot 10^6$$$$384EI = 384\cdot 1.68\cdot 10^6 = 645.12\cdot 10^6$$$$w_{\max}=\frac{64.8\cdot 10^6}{645.12\cdot 10^6} \approx 0.100\ \text{m}$$

Wynik:

• $w_{\max}\approx 0.10\ \text{m} = 100\ \text{mm}$

Komentarz: 100 mm dla $L=6$ to ugięcie bardzo duże (rzędu $L/60$). W praktyce oznacza to, że przekrój (czyli $I$) jest za mały lub obciążenie jest wysokie – należałoby dobrać większy przekrój, dodać podparcie pośrednie lub zmienić schemat statyczny.

6) Wnioski

Belka swobodnie podparta jest jednym z podstawowych modeli obliczeniowych. Dla wielu obciążeń:

• reakcje wyznacza się z równań równowagi,
• $V(x)$ i $M(x)$ wynikają bezpośrednio z bilansu obciążeń,
• ugięcie zależy silnie od $I$ (sztywności geometrycznej) i rośnie jak $L^4$, co czyni rozpiętość kluczowym czynnikiem.

Mini-ściąga (dla $q$ na całej długości)

Bibliografia (skrót)

[1] Klasyczne podręczniki wytrzymałości materiałów i mechaniki budowli: belki Eulera–Bernoulliego, wykresy $V$–$M$, wzory na ugięcia.