Dobór przekroju belki stalowej – zasady projektowe i kompletny przykład obliczeniowy

Istota doboru przekroju w projektowaniu konstrukcji stalowych

Dobór przekroju elementu konstrukcyjnego jest jednym z podstawowych etapów projektowania konstrukcji nośnych. Proces ten polega na określeniu takiego kształtu i wymiarów przekroju, aby przy zadanych obciążeniach spełnione zostały warunki:

• nośności na zginanie,
• nośności na ścinanie,
• stateczności elementu,
• dopuszczalnych ugięć w stanie użytkowalności.

W przypadku belek stalowych kluczową rolę odgrywa analiza momentów zginających oraz sił tnących, a następnie powiązanie ich z charakterystykami geometrycznymi przekroju, w szczególności z:$$I – momentem bezwładności$$$$W – wskaźnikiem wytrzymałości przekroju$$

W niniejszym opracowaniu przedstawiono kompletną procedurę doboru przekroju dwuteowego dla belki swobodnie podpartej.

Założenia projektowe i dane wyjściowe

Rozpatrujemy belkę stalową swobodnie podpartą.

Materiał: stal konstrukcyjna S235
Granica plastyczności:$$f_y = 235 \, MPa$$

Rozpiętość belki:$$L = 4,0 \, m$$

Obciążenie równomierne:$$q = 10 \, kN/m$$

Schemat statyczny: belka jednoprzęsłowa swobodnie podparta.

Wyznaczenie sił wewnętrznych

Dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym maksymalny moment zginający występuje w środku rozpiętości i wynosi:$$M_{max} = \frac{q L^2}{8}$$

Podstawiając dane:$$M_{max} = \frac{10 \cdot 4^2}{8} = \frac{10 \cdot 16}{8} = 20 \, kNm$$

W jednostkach podstawowych:$$M_{max} = 20 \times 10^3 \, Nm$$

Warunek nośności na zginanie

Warunek nośności przekroju:$$M_{max} \le W \cdot \sigma_d$$

gdzie:

W – wskaźnik wytrzymałości przekroju
σd – naprężenie dopuszczalne

Przyjmując podejście uproszczone:$$\sigma_d \approx f_y = 235 \, MPa$$

Minimalny wymagany wskaźnik wytrzymałości:$$W_{min} = \frac{M_{max}}{\sigma_d}$$$$W_{min} = \frac{20 \cdot 10^3}{235 \cdot 10^6} = 8,51 \times 10^{-5} \, m^3$$

Po przeliczeniu:$$W_{min} = 85,1 \, cm^3$$

Oznacza to, że należy dobrać profil stalowy o:$$W_x \ge 85 \, cm^3$$

Dobór przekroju z katalogu kształtowników

Z tabel kształtowników walcowanych można przyjąć przykładowe profile:

Minimalne wymaganie: 85 cm³.

IPE 160 jest niewystarczający.
IPE 180 spełnia warunek.

Przyjmujemy:

IPE 180
Wx ≈ 95 cm³

Sprawdzenie naprężeń rzeczywistych

$$\sigma = \frac{M_{max}}{W}$$$$\sigma = \frac{20 \cdot 10^3}{95 \cdot 10^{-6}} = 210 \, MPa$$$$210 \, MPa < 235 \, MPa$$

Warunek nośności na zginanie spełniony.

Sprawdzenie nośności na ścinanie

Maksymalna siła tnąca:$$V_{max} = \frac{qL}{2}$$$$V_{max} = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 \, kN$$

Dla przekrojów dwuteowych nośność na ścinanie jest zazwyczaj znacznie większa niż siła projektowa przy tak małych rozpiętościach. W praktyce IPE 180 posiada nośność na ścinanie wielokrotnie większą niż 20 kN, więc warunek jest spełniony z dużym zapasem.

Sprawdzenie ugięcia – stan graniczny użytkowalności

Maksymalne ugięcie belki:$$f_{max} = \frac{5 q L^4}{384 E I}$$

Moduł sprężystości stali:$$E = 210 \, GPa$$

Moment bezwładności dla IPE 180:$$I_x \approx 856 \, cm^4 = 8,56 \times 10^{-6} m^4$$

Podstawiając:$$f_{max} = \frac{5 \cdot 10\,000 \cdot 4^4} {384 \cdot 210 \cdot 10^9 \cdot 8,56 \cdot 10^{-6}}$$

Po obliczeniu:$$f_{max} \approx 4,5 \, mm$$

Dopuszczalne ugięcie dla belek stropowych:$$f_{dop} \approx \frac{L}{250} = \frac{4000}{250} = 16 \, mm$$$$4,5 \, mm < 16 \, mm$$

Warunek sztywności spełniony.